成大修課心得－驚奇的高等微積分之旅

叫我萬磁王...之電磁成績好奇怪

科學班高三的重頭戲之一就是到大學修課，雖然原定規則是必修一門微積分和一門大一普通科目（普物、普化、普生三選一），但既然都不用考學測了，這學期就決定去修一些看起來比較有趣的課。畢竟之後的學習方向會偏向學術理論，總感覺得去修一下數學系的微積分，但卻發現和力學衝堂；同時量子物理則是和體育課衝堂，因而最終審慎考量後決定選物理系的力學、電磁學和數學系的高等微積分這三門課。現在一個學期過了，就來發點感想吧！

力學的課程我覺得內容有些太淺，雖然用的課本是Marion，但上學期跳過了所有Lagrange力學和剛體力學的部分，而著重在各種微分方程的處理，前兩次期中考也都在暴力解這些方程。因為以前有讀過工數，對於大部分的微方和數學原理都有一定程度的了解，也鑽研過對角化和級數解的技巧，基本上任何震盪方程或是粒子方程依循相同的套路都可以迎刃而解，所以這門課感覺比較沒學到東西（最初會跑來修它就是想要更深入了解Lagrange力學的物理意涵，可是後來發現那下學期才會教阿......），不過教授花了不少篇幅引入相對論這點個人覺得還蠻不錯的。

電磁學的教學則是採傳統詳實的風格，用的課本是Griffiths，教授也直接按著順序一章一章教。其中我覺得教得最好的是用Legendre多項式解邊界值問題的部分，數學部分講的十分清楚，也很有系統的把基底的概念闡述明白。然而也是遇到一樣的問題：因為在高二時已經讀過幾遍Griffiths了，所以與其說是去修課學習倒比較像是去複習的。個人認為電磁學的物理部分要上的精采，上課引用一些費曼的說法絕對會有大大的加乘效果阿！不過總體來講，這仍算是一門還蠻紮實有料的物理課。

高微就真的選對課了，一學期修下來感覺超級值得，讓我很慶幸自己有來讀科學班。我過去微積分是靠自學，而且看的是比較簡單的教材，程度大概僅限於會作各種微分和積分（也就是標準的工商學院程度），對於ε－δ的極限定義屬一知半解，而且學工數時那些最原始的數學定義導證根本用不到，所以也沒回頭去補學。很多系所都有開設微積分這門課，一般來說論難度是商學院＜工學院＜理學院＜數學系微積分＜數學系高等微積分，原本這學期打算修一下數微，但就如一開始所講的，基於它跟力學衝堂，因此決定直接跳高微去學。雖然沒有好的微積分基礎，但當時心想遇到不會的再回頭翻書補一下就好了，而且高中修課被當也不會怎樣，於是便抱著朝聖的心情選了這門課，並在課程開始前兩個禮拜把他們去年初微用的課本（Courant的微積分）讀了一下。

可能是運氣太好，我遇到的高微教授Frank教高微的方式很特別，整個課程前後的知識環環相扣，遇到初微的東西會稍微複習一下，所以整體只要有認真聽並不會有跟不上的問題。這門課給我的感覺就是非常紮實，每個禮拜都有一份作業和一份quiz，全部都是教授設計的題目。作業的題目有90%都是在證明，早期的一份作業大概要花三四個小時才寫得完，晚期的作業比較難，可能要花上十幾個小時，證明常常一寫就是十幾張A4紙。每每把作業完成，就會有種能力在一點一滴累積提升的感覺，想出很難的證明時也會很有成就感。

學期剛開始時教授把重點放在初等拓樸，研究Open set、Closed set和各種點集拓樸，也教了許多不同點的性質，像是怎麼選定開球半徑ε來檢視點是不是adherent point等等，需要用到的數學其實就是一堆集合論的操作。可能是平常有認真寫作業的緣故，期中考寫得出乎意料的順手，開始產生了一點自信，也愈讀愈有興致。但老實說第一次期中考前上課教的內容雖然都會了，心中卻總有種「我學這個要拿來幹嘛？」的感覺，仍不太知道這些拓樸的實用價值在哪。

結果第二次期中馬上就進到了高微最精彩的部分之一－Function Space，就是這段時間使我徹底的喜歡上數學，也讓我不斷地體驗到數學那種邏輯分明層層導證的美，是不同於物理之美的另一種感受。教授從Bolzano Weierstrass定理開始，複習收斂定義和柯西列，並把課程內容拓展到空間的完備性和Sequentially Compact，接著開始介紹Banach Space和Hilbert Space。這當中所有的內容都是用了一堆引理和定理，不斷的證明和闡述數學意義，並一步一步推出很厲害的大定理，學的過程常會為數學家的思維感到驚嘆。像是在講Banach Space前，教授先花了幾堂課談完備性，又花了幾堂課談finite Function Space和Rn的線性同構，接著跑去複習線性代數的Norm Space，並用infinity norm定義函數空間的metric。把許多段小理論的基礎打穩後，最後再將其通通匯合起來，把Complete Norm Space定義為Banach Space，並特別研究有限函數空間的完備性，後來更陸陸續續的提出任意Metric Space的完備化、Lipshitz Continuous和Banach Contraction Mapping Principle等等，將微分方程的唯一解理論解釋的十分透澈，接著又推廣至Fredholm的積分方程......

對應到這幾周的作業變得愈來愈困難，除了最基礎的Rn跟B(S)外，還有很多篇幅在推導lp Space、C[a,b]等各種空間的性質，寫作業真的常會不知道要寫到民國幾年。而這門課的最大特點就是，每次上的都不會太難，但是上過的東西要自動當成已知內化到腦袋裡。像點集拓樸在這些理論的學習中成為了很基礎的工具，讓我了解到第一次期中花這麼多時間學拓樸的原因；而後來教的各種完備空間和證明技巧，在期末時也成為了學習理論的先備知識，舊的理論一點一滴的累積下來成為養分，讓新的理論一個接一個開花結果，這種學習的快感真的前所未有。暑假學線性代數時其實已經有體驗到一些這種感覺，但線代主要的領域是在Vector Space，概念比較能具象化；而高微的重點範圍在Metric Space，許多測度的觀念對我來說更來得抽象，也因此學高微的興奮感被大大的提升。期末時教授有一半的時間在談積分理論，另一半在談矩陣空間的收斂，當看到高微和線代的許多理論被結合在一起的那一刻，心中真的有說不出的感動，一想到下學期要教連通性和manifold更是全身興奮。

來修高微以前的我，認為數學只是輔助當代科學發展的工具，對數學的了解也只停留在IMO這種高中競賽的題目。然而真正修過這門課以後，視野完全被開拓了，跟那些競賽數學相比，我覺得這種將所有表象理論抽絲剝繭探索本質的學問，才是真正能被稱作「偉大」的數學。而且就如同看到高微和線代結合而感動一樣，看到近代物理和高等數學在各處的環環相扣真的常會讓人讚嘆不已。像是類氫原子模型的能階其實是Hamilton算子的特徵值、量子力學的公設化全部在Hilbert Space上討論、廣義相對論的力是Riemannian manifold上的曲率......看著所有物理和數學的完美契合，只能認為創造這世界的神真的是個天才中的天才。

我喜歡修困難的課，因為通常只有這樣的課才能真的拓展大腦的思維，從全新的角度看世界。線代、高微、量子力學、廣義相對論......這些都是相當精彩的理論，雖然現在還沒辦法全部弄懂，但正是如此學起來才會興奮。高微課改變我很多，也許未來除了物理本業外也會把分析和幾何當作另一個興趣主科吧。這次來成大修課同時發掘了新的能力與興趣，真的值了！