成大修課心得-驚奇的高等微積分之旅

叫我萬磁王...之電磁成績好奇怪
科學班高三的重頭戲之一就是到大學修課,雖然原定規則是必修一門微積分和一門大一普通科目(普物、普化、普生三選一),但既然都不用考學測了,這學期就決定去修一些看起來比較有趣的課。畢竟之後的學習方向會偏向學術理論,總感覺得去修一下數學系的微積分,但卻發現和力學衝堂;同時量子物理則是和體育課衝堂,因而最終審慎考量後決定選物理系的力學、電磁學和數學系的高等微積分這三門課。現在一個學期過了,就來發點感想吧!

力學的課程我覺得內容有些太淺,雖然用的課本是Marion,但上學期跳過了所有Lagrange力學和剛體力學的部分,而著重在各種微分方程的處理,前兩次期中考也都在暴力解這些方程。因為以前有讀過工數,對於大部分的微方和數學原理都有一定程度的了解,也鑽研過對角化和級數解的技巧,基本上任何震盪方程或是粒子方程依循相同的套路都可以迎刃而解,所以這門課感覺比較沒學到東西(最初會跑來修它就是想要更深入了解Lagrange力學的物理意涵,可是後來發現那下學期才會教阿......),不過教授花了不少篇幅引入相對論這點個人覺得還蠻不錯的。

電磁學的教學則是採傳統詳實的風格,用的課本是Griffiths,教授也直接按著順序一章一章教。其中我覺得教得最好的是用Legendre多項式解邊界值問題的部分,數學部分講的十分清楚,也很有系統的把基底的概念闡述明白。然而也是遇到一樣的問題:因為在高二時已經讀過幾遍Griffiths了,所以與其說是去修課學習倒比較像是去複習的。個人認為電磁學的物理部分要上的精采,上課引用一些費曼的說法絕對會有大大的加乘效果阿!不過總體來講,這仍算是一門還蠻紮實有料的物理課。

高微就真的選對課了,一學期修下來感覺超級值得,讓我很慶幸自己有來讀科學班。我過去微積分是靠自學,而且看的是比較簡單的教材,程度大概僅限於會作各種微分和積分(也就是標準的工商學院程度),對於ε-δ的極限定義屬一知半解,而且學工數時那些最原始的數學定義導證根本用不到,所以也沒回頭去補學。很多系所都有開設微積分這門課,一般來說論難度是商學院<工學院<理學院<數學系微積分<數學系高等微積分,原本這學期打算修一下數微,但就如一開始所講的,基於它跟力學衝堂,因此決定直接跳高微去學。雖然沒有好的微積分基礎,但當時心想遇到不會的再回頭翻書補一下就好了,而且高中修課被當也不會怎樣,於是便抱著朝聖的心情選了這門課,並在課程開始前兩個禮拜把他們去年初微用的課本(Courant的微積分)讀了一下。

可能是運氣太好,我遇到的高微教授Frank教高微的方式很特別,整個課程前後的知識環環相扣,遇到初微的東西會稍微複習一下,所以整體只要有認真聽並不會有跟不上的問題。這門課給我的感覺就是非常紮實,每個禮拜都有一份作業和一份quiz,全部都是教授設計的題目。作業的題目有90%都是在證明,早期的一份作業大概要花三四個小時才寫得完,晚期的作業比較難,可能要花上十幾個小時,證明常常一寫就是十幾張A4紙。每每把作業完成,就會有種能力在一點一滴累積提升的感覺,想出很難的證明時也會很有成就感。

學期剛開始時教授把重點放在初等拓樸,研究Open set、Closed set和各種點集拓樸,也教了許多不同點的性質,像是怎麼選定開球半徑ε來檢視點是不是adherent point等等,需要用到的數學其實就是一堆集合論的操作。可能是平常有認真寫作業的緣故,期中考寫得出乎意料的順手,開始產生了一點自信,也愈讀愈有興致。但老實說第一次期中考前上課教的內容雖然都會了,心中卻總有種「我學這個要拿來幹嘛?」的感覺,仍不太知道這些拓樸的實用價值在哪。

結果第二次期中馬上就進到了高微最精彩的部分之一-Function Space,就是這段時間使我徹底的喜歡上數學,也讓我不斷地體驗到數學那種邏輯分明層層導證的美,是不同於物理之美的另一種感受。教授從Bolzano Weierstrass定理開始,複習收斂定義和柯西列,並把課程內容拓展到空間的完備性和Sequentially Compact,接著開始介紹Banach Space和Hilbert Space。這當中所有的內容都是用了一堆引理和定理,不斷的證明和闡述數學意義,並一步一步推出很厲害的大定理,學的過程常會為數學家的思維感到驚嘆。像是在講Banach Space前,教授先花了幾堂課談完備性,又花了幾堂課談finite Function Space和Rn的線性同構,接著跑去複習線性代數的Norm Space,並用infinity norm定義函數空間的metric。把許多段小理論的基礎打穩後,最後再將其通通匯合起來,把Complete Norm Space定義為Banach Space,並特別研究有限函數空間的完備性,後來更陸陸續續的提出任意Metric Space的完備化、Lipshitz Continuous和Banach Contraction Mapping Principle等等,將微分方程的唯一解理論解釋的十分透澈,接著又推廣至Fredholm的積分方程......

對應到這幾周的作業變得愈來愈困難,除了最基礎的Rn跟B(S)外,還有很多篇幅在推導lp Space、C[a,b]等各種空間的性質,寫作業真的常會不知道要寫到民國幾年。而這門課的最大特點就是,每次上的都不會太難,但是上過的東西要自動當成已知內化到腦袋裡。像點集拓樸在這些理論的學習中成為了很基礎的工具,讓我了解到第一次期中花這麼多時間學拓樸的原因;而後來教的各種完備空間和證明技巧,在期末時也成為了學習理論的先備知識,舊的理論一點一滴的累積下來成為養分,讓新的理論一個接一個開花結果,這種學習的快感真的前所未有。暑假學線性代數時其實已經有體驗到一些這種感覺,但線代主要的領域是在Vector Space,概念比較能具象化;而高微的重點範圍在Metric Space,許多測度的觀念對我來說更來得抽象,也因此學高微的興奮感被大大的提升。期末時教授有一半的時間在談積分理論,另一半在談矩陣空間的收斂,當看到高微和線代的許多理論被結合在一起的那一刻,心中真的有說不出的感動,一想到下學期要教連通性和manifold更是全身興奮。

來修高微以前的我,認為數學只是輔助當代科學發展的工具,對數學的了解也只停留在IMO這種高中競賽的題目。然而真正修過這門課以後,視野完全被開拓了,跟那些競賽數學相比,我覺得這種將所有表象理論抽絲剝繭探索本質的學問,才是真正能被稱作「偉大」的數學。而且就如同看到高微和線代結合而感動一樣,看到近代物理和高等數學在各處的環環相扣真的常會讓人讚嘆不已。像是類氫原子模型的能階其實是Hamilton算子的特徵值、量子力學的公設化全部在Hilbert Space上討論、廣義相對論的力是Riemannian manifold上的曲率......看著所有物理和數學的完美契合,只能認為創造這世界的神真的是個天才中的天才。

我喜歡修困難的課,因為通常只有這樣的課才能真的拓展大腦的思維,從全新的角度看世界。線代、高微、量子力學、廣義相對論......這些都是相當精彩的理論,雖然現在還沒辦法全部弄懂,但正是如此學起來才會興奮。高微課改變我很多,也許未來除了物理本業外也會把分析和幾何當作另一個興趣主科吧。這次來成大修課同時發掘了新的能力與興趣,真的值了!

Comments

  1. 萬磁王
    http://cbdcoding.blogspot.tw/2015/02/tioj-1238-magnetos-game.html

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    1. 不可能這麼磁吧
      哇是國手耶<(_ _)>

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  2. 被大神嚇到的小魯July 29, 2016 at 1:16 AM

    我高中在做什麼@@
    你竟然已經讀過Griffiths好幾遍,而且還讀了高微

    還是說這是普通班與科學班的差別(淚目)
    科學班一般像板主這種大神程度的大概占班上幾分之幾,因為都沒遇過科學班的人,很好奇OAO

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  3. 我是被你電爆的成大學生OAO

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