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Arzela-Ascoli 定理

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最近在看分析時讀到了 Arzela-Ascoli 定理的證明,覺得手法還蠻酷的。證明過程用到了一個很潮的對角線選取法來選定收斂列,並很巧妙的用 compact 的定義結合三角不等式推導均勻收斂,某方面來說它把很多塊之前學到的數學定義連結了起來,在學分析時是相當有紀念價值的一個里程碑。

也因為這樣想要發篇文來紀念一下,因為個人覺得理解數學最好的方式是用自己的口語去講出嚴謹的數學論證,所以想藉由打下這篇證明來加深自己對定理的感覺(順便練習 LaTeX,MathJax 這個 JavaScript library 真的神好用)。

以下會把先把一些基本的定義、定理粗略介紹一下,包含 Bolzano–Weierstrass 定理、compact、uniform continuous、函數空間的收斂、完備空間等。接著介紹 dense、uniformly bounded、equicontinuous 這幾個 Arzela-Ascoli 定理敘述裡的重要名詞,最後再開始證明 Arzela-Ascoli 定理。
值得先提的是, Arzela-Ascoli 定理是 Bolzano–Weierstrass 定理在連續函數空間上的推廣,它們的本質源自於緊緻(Compact)的觀念。
$\textbf{Bolzano-Weierstrass Theorem}$
$\mathbb{R}^n$ 裡的任何 $bounded\ sequence$ 必存在收斂 $subsequence$

$\underline{proof\ sketch}$
只要將這組 $bounded$ 數列一直對半切,取剩下無限多元素的那半,每切一次挑一個數列元當新的子列元素。由 $nested\ interval\ postulate$ 可知切了無限次後將所有得到的集合交集的只會有一個元素,也就是收斂到的值。

$\textbf{Compact}$
一個集合的任何開覆蓋($open\ cover$)都有有限的子覆蓋($finite\ subcover$)。 
$\textbf{Uniform Continuous}$
$f$ 將 $X$ 映射到 $\mathbb{R}$ 是均勻連續($Uniform\ Continuous$)$\iff$ 對任意 $\epsilon >0$,存在 $\delta >0$ 使得對任何 $…