台大好課評價:微積分二


開課年度:105-2

授課教師:蔡忠潤教授

開課系所與授課對象:數學系必修,可抵其他微積分課

私心推薦指數(滿分十分):

課程大概內容

1. Functions of several variables and continuity 
2. Partial derivatives
3. Differential of a function
4. Chain rule
5. Mean value and Taylor theorem in several variables
6. Integral of functions with a parameter
7. Line integrals
8. The fundamental theorem on line integrals
Midterm 1 
9. Implicit functions
10. Inverse function
11. Maxima and minima
12. Lagrange multiplier
13. Solving inverse map by iterations, Dependent functions
14. Area, double integrals and Integrals in higher dimensions
15. Change of variable formula
Midterm 2 
16. Improper multiple integrals
17. Integrals in curvilinear coordinates
18. Higher dimensional integrals
19. Improper integrals with a parameter
20. Green's theorem
21. Applications and interpretations by flows
22. Orientation of surfaces and surface integrals
23. Gauss's theorem in space
24. Stokes's theorem in space
25. Higher dimensions
Final

上課用書

1. Introduction to Calculus and Analysis Vol.II by Richard Courant and Fritz John(參考用)
2. 教授自己整理的筆記

上課方式

純板書,這學期改成上課的筆記會在課前一天上傳Ceiba,我自己上課會直接把檔案開起來放著邊看邊聽,理解的效率比上學期高出不少。

評分方式

作業 30% / 期中一 20% / 期中二 20% / 期末 30% / 加分 5%

考題型式、作業方式

考題一樣是題組,這學期每次都是六題,沒有是非題。前兩次期中有大略公佈題型,通常約有一半是證明題。期末則只給範圍,全部都是計算。

其他

不在乎出席率,加簽都給簽。最好修過微積分一,這學期也有一些從微甲轉過來的同學。如果上學期有學好的話會過的相對輕鬆,因為不少論證的方式十分類似。 

心得與總結

這學期的課程集中在多變數微積分,第一次期中考前的內容算是整學期的根基(也就是如果沒有弄懂大概可以考慮停修了),把微積分搬到高維空間上去重新定義,用矩陣的方式詮釋微分,也介紹了1-form的線積分定理。

第二次期中的範圍是整學期的理論精髓:隱函數定理和反函數定理(IFT)。多變數微積分討論的是怎麼在一個可能不是歐式空間,但局部像歐式空間的東西上面做微積分,而IFT是裡頭的理論基礎。這同時也是分析導論(或其他學校的高微)會再教一次的內容,但台大的分析課聽說會把它當做已知直接跳過。除了IFT外剩下的時間著重在定義多變數的積分。

期末的內容就幾乎都是高維度積分理論,包含瑕積分、參數化高維曲面,以及最重要的三個定理:Green定理、Gauss定理、Stokes定理。雖然期末考主要都考計算,但上課花最多時間的還是放在推導。可能因為教授本身是做幾何的,課程中也給了很多幾何的觀點,像是學期最後就用微分型(differential form)來詮釋Stokes和Gauss定理,也稍微談了一點流形(Manifold)。

整學年下來,我覺得收穫最多的數學課大概就是這門數學系的微積分了。畢竟微積分這東西單論計算的話,其實隨便抓本參考書刷些題目就能練到一定程度。但是數學系不一樣的地方在它帶著你走過了將整套理論體系建構起來的過程。就如同教授所說,分析學比較像是方法論,所以這一年下來在論證方法的介紹上一點都不馬乎。

接續這門課,如果想要更深入的去學習這些論證方法的話,可以接著修分析。如果對距離、長度有關的概念有濃厚興趣的話,則可以修幾何。

最後維持數學系的優良傳統,附上教授在期末的一則語錄:

蔡:「出考卷很累,改考卷也很累」
學生:「那齊震宇呢?」
蔡:「他有強迫症」

附註:一樣補上這學期物理系編的共筆。
共筆連結:goo.gl/FWjzU2

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