一些近代物理的理論簡介


台大每年都會舉辦給高中生介紹科系的杜鵑花節,我曾於高一時在科學班班導A皇的帶隊下來參觀過一次。如今過了三年、進了台大物理系,按照傳統杜鵑花節一樣是由大一負責,而我也因緣下接了諮詢組的工作。從當年跑到物理系攤位問問題,變成之後站在物理系攤位給學弟學妹們問問題,有種時光飛逝的感覺。

諮詢組顧名思義就是要給高中生解惑,讓他們了解物理學在幹嘛、物理系在學什麼、物理系和其他科系的差別在哪裡等等。因此除了要花時間寫手冊的內容以外,還得負責訓練組員應對高中生的問答能力,而這當中很重要的一件工作就是讓一些對物理核心體系比較不熟的組員能快速的建立一個對物理理論發展的Overview。於是藉著這個機會寫了一篇以大一新生角度看待近代物理理論的介紹,剛好可以跟不久前介紹測不準原理的文章內容無縫接軌。這篇的內容除了我自己對物理的理解以外,也有不少是之前去美國跟何應佑學長聊物理時所長的知識,順便在這邊分享一下XD

淺談測不準原理這篇文中我提到,量子力學假設任何的物質都可以看作是波函數,而動量和位置為Fourier transform下對易的兩個物理量。然而物理學家很快的就碰到了一個問題:如果粒子數量不變的話,波函數的運算還可以進行,比較複雜的系統可以用代數拓樸去解決。但如果你的系統中,粒子會憑空出現或消失,那麼粒子數量在變化的時候波函數的定義就會變得十分麻煩。比方說原本波函數是個單變數函數,接著如果突然蹦出了一個波色子,這個波函數就變成雙變數函數了,這當中從定義上根本不可行。

為了解決量子力學的諸多限制,物理學家於是發展了量子場論。量子場論是個將古典場論的場量子化後所衍生出來的理論。一般你去拿一本古典場論的課本,裡面主要的內容即是電磁學和廣義相對論。前者志在探討電磁場的性質,例如Griffiths的電磁學課本最後面的章節,講述電場在不同參考座標係下可以透過Lorentz變換轉變成磁場,是古典場論在探討的內容之一。至於廣義相對論探討的則是重力場,用平滑的彎曲時空來解釋重力的產生。

物理學家將量子化的觀念引入場論裡面,以電磁場來說,你可以從動量的角度來看,將電磁場視作電磁波,其中波向量的組成對應到的就是動量。你亦可以從位置的角度來看,將電磁場視作是光子,對應到的參數即是位置。以平面波為例子,它的波向量是確定的,換句話說動量是確定的。但將平面波轉換成光子的角度來看,位置不准量就是無限大,光子填滿了全部的空間,這樣的結果再度驗證了測不準原理。同理,重力場亦可以量子化,對應到的轉換就是重力子(Graviton)和重力波。

在量子場論裡,所謂的粒子其實就是場的各種不同模態,而所謂的「基本粒子」,指的是最基本的那幾種「場」。你可以對這些場的行為訂一些規則,比方說你要求所有場都滿足Lorentz變換,那量子場論便可以同時滿足狹義相對論和量子力學,這一步其實沒有科普書上寫的那麼神奇。

而所謂基本粒子的交互作用,換言之就是場的交互作用,當中的計算最著名的工具叫Feynman圖,它可以用圖像的方式幫你整理出基本粒子作用中各項運算級數收斂的值。Higgs boson之所以很有名,就是因為它的存在會讓很多交互作用的級數運算成功。

Feynman圖

有Higgs boson的Feynman圖

然而麻煩的是,當你把重力場量子化得到的重力子丟進Feynman圖後,得到的級數必然會發散。因為其他基本粒子都是在時空中做運算,但重力場在廣義相對論裡就是時空本身的扭曲,當中會有矛盾存在,而這些矛盾並不是像其他基本粒子一樣加入Higgs boson就能解決的。於是量子場論雖然很完美的解釋了大部分的基本粒子,但遇到重力就崩潰了,物理學家被迫要找尋更廣義的理論來解釋這些現象,於是日後發展了弦論(String Theory)。

(這裡補充一下波函數在量子場論的意義。在量子力學中,你的input是空間座標或動量座標,output則是空間或動量的波函數,其自己內積代表存在空間中某位置或某動量的機率密度。但在量子場論中,你的input是空間中的場,output則是場的波函數,所以其意義代表著空間中的場分佈機率。)

弦論的基本假設是自然的一切都是由弦組成,所謂弦可以是圈圈,也可以是線。當這些弦產生了特定的振動模態時,就會對應到特定的基本粒子。以重力來說好了,弦的某個振動模態會對應到重力子,重力子之間的交互作用就是重力場。只不過,目前在研究弦論的人通常主要研究的是基本粒子的存在,牽涉到場的運算(String Field Theory)因為非常複雜,理論還在建構當中。

上面是Feynman圖的場論版本,下面是弦論版本。可以發現弦論版的點變成了圈圈,也就是弦。
在弦論裡頭,要滿足特定的能階(Spectrum)需要有特定的維度數量,比方說假設這個世界只有波色子,就必須要有剛好26個維度。假設這世界有某些波色子和費米子再加上超對稱,就一定只有剛好十個維度。(另外經過運算可以證明,世界不可能只有費米子。)

至於什麼是十個維度呢?這十個維度是由我們的四維時空流形和一個六維緊緻流形(Compact manifold)所組成的。其中四維時空裡面包含了三維空間和一維時間,只不過這四個軸是無限延伸的。而這個六維緊緻流形又被稱作Calabi-Yau流形,其六個維度都是空間,但因為緊緻的關係必須是有限的,不像四維時空可以無限延伸,再加上尺度為極小的原子尺度,肉眼無法觀測,所以我們平常生活只感受的到四個維度。

(關於這個六維流形,一個簡單的理解方式是:你把一個圈圈平方後,在拓樸學上會得到甜甜圈。那你把圈圈六次方後,就會得到一個簡單的Calabi-Yau流形。)

當我們在詮釋這十個維度時,會將全部維度進行Cartesian product(一種張量積),你亦可以視作四維時空和Calabi-Yau流形的Cartesian product。今天因為Calabi-Yau流形的尺度很小,所以你的四維時空不管放狹義相對論還是廣義相對論的版本,看起來都是非常平直的,因而弦論在整合廣義相對論時難度其實沒有很高。

每當你考慮某些波色子和費米子的存在時,就會對應到一種滿足條件的特定的Calabi-Yau流形。但如果考慮全部的波色子和費米子,對應到的那個Calabi-Yau流形物理學家至今都還沒找到,這也是弦論一個還在發展的方向。

然而弦論最為人詬病的一點,大概就是它難以被實驗給佐證吧。因為要設計能印證弦論的實驗需要耗費極大的能量,較為高能的實驗現今根本沒有相匹配的技術。縱使實驗可行,在這個能源危機的世代要實施這類實驗更是難上加難。

見證大統一理論,是許多物理學家畢生的夢想。從相對論和量子力學,一路衍生出量子場論、弦論,除此之外還有許多千奇百怪的理論分支都在朝這個目標前進。這樣的最終理想究竟是否能在我們有生之前看到呢?就請拭目以待吧XD

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