台大好課評價:微積分一


開課年度:105-1

授課教師:蔡忠潤教授

開課系所與授課對象:數學系必修,可抵其他微積分課

私心推薦指數(滿分十分):八分,課程節奏覺得還可以更好 

課程大概內容

以下將老師上課的內容依照兩此期中和一次期末的範圍列成三段: 

1. Real numbers and continuous functions
2. Limit of sequence
3. Limit for continuous functions
4. Integral & derivative
5. Fundamental theorem of calculus
6. Basic rules for derivative
7. Exponentials
Midterm 1
8. Max and min, some special functions
9. Integration by substitution
10. Integration by parts
11. Integration of rational functions
12. Arc length and area
13. Taylor's theorem
14. L'Hôpital's rule
Midterm 2
15. Interpolation, numerical integration
16. Newton's method, Stirling formula 
17. Convergence and test 
18. Uniform convergence
19. Power series
20. Infinite products
21. Periodic functions
22. Fourier series
Final

上課用書

1. Introduction to Calculus and Analysis Vol.I by Richard Courant and Fritz John(參考用)
2. 教授自己整理的筆記

上課方式

基本上都是板書,教授會於課後將上課的筆記上傳至Ceiba,不過大部分的學生還是會選擇現場邊抄邊思考,也可以順便檢核教授的一些筆誤。

評分方式

作業 30% / 期中一 20% / 期中二 20% / 期末 30% / 加分 5%

肯寫作業的話絕對是扎實,如果作業都有自己寫完的話會覺得它蠻甜的,前提是要寫作業。期考分數滿分通常介於50~60分之間,班平均30左右,最後會再將所得分數乘二。加分的部分則是在助教課,一次上台加一分,採自願制。因為數學系對於學生的做題要求是相對嚴謹的,也因此GPA的算法和台大給的標準不太一樣,教授好像說過結算後約80up應該就有A了。

考題型式、作業方式

考題是以題組的形式出,第一次期中六題、第二次期中七題、期末八題。按慣例會有一組4~5題不用證明的是非題、一題定理證明(要證明的東西教授會在事前公佈兩個,之後抽其中一個考,換言之就是很重要希望學生記起來的定理),剩餘的題目除了一個神秘題以外,主要是從作業裡頭改,一樣以證明居多,範圍會事先告知。

其他

五學分,不點名,不注重出席率,加簽直接給上,但如果完全沒基礎的話不建議翹課,否則很容易跟丟。教授個性超好,有點天然,但有個小缺點是他上課時步調有時會太緊湊,沒有給學生足夠的反芻時間,常常在問學生「有沒有問題?」時,學生連要問的問題是什麼都還沒想好,教授就當作沒問題繼續教下去了。除了這個小缺點之外,教的真的蠻棒的。

先備知識大概就一點高中數學吧。不過這方面我也說不太準,還是建議問一下其他有修過課的同學的經驗。

心得與總結

這門課從結構上來看我會把它拆成兩部分。第一部分是基石,從實數的性質、極限跟連續一路談到微分、積分、特殊函數,透過證明來解析它們的數學本質,並用作業來打磨操作這些工具的技術。第二部分則是用這些基石的內容來研究函數的性質,並引申出三個關聯性非常大的主題:泰勒定理、均勻收斂、傅立葉級數。

跟其他微積分課的不同之處在於,數學系的微積分把內容串連起來的邏輯是非常嚴謹的,所有看似直觀的論述,比方說「一個連續的函數可以積分」、「均勻收斂的連續函數收斂後也會連續」等,都需要經過邏輯考核,由許多重要的數學定理給堆疊出來,不會被用「看起來很合理」、「這個被數學家證出來了我們直接用」之類的話敷衍過去。而課程裡頭所有的證明之所以可以被證實,則都是建立在實數的性質、不等式以及過去證明過的定理上。換言之,這門課雖然課名叫微積分,但研究的對象其實是實數。

跟工程用數學的形式差異在於,在這門課裡頭,證明的存在並不僅是拿來過場到我們想要得到的結果,它同時也揭露了一些數學的本質。這些將表象用邏輯揭開以看到背後本質的過程,也就是「分析」的技術,是課程的另一大重點內容。

如果只是要學會怎麼使用微積分的話,我覺得微甲大概就足夠了,沒有跑來數學系修的必要。但如果想要對微積分有更深入的瞭解,或是對數學系到底在學什麼很感興趣,那這門課是個很好的開始,因為它不太需要什麼基礎。

以前高中時常會聽到長輩在勸說「大學數學跟你的想像絕對會有落差」、「不要輕易選擇讀數學系」之類的話,但我覺得那純粹是因為高中數學太無聊瑣碎的關係。作為數學系的兩個入門課之一,這門微積分一從某方面來看有點像是大二分析的預備課,該教的計算和應用都有教,但更為著重在背後的精神跟分析的技術。

也許有人會想「為什麼數學系的都在學證明?會用不是更重要嗎?」。事實上我覺得教授的微積分並沒有不重視計算,只是在數學的世界,懂了證明、學會用邏輯分析,才具備獨當一面的解決問題的能力,否則就只是一個會使用一些數學工具的人,但是當遇到的問題跳脫出這些工具的範疇時,便什麼都做不了,只因為自己分析問題的能力不成火候。

總體來說,這算是我這學期少數有真的投入時間的課,其中最大的原因在於它跟很多名字聽起來很厲害但實質上卻沒什麼內容的課程不一樣,教授上課的內容沒有半點唬爛,不會講一些漂亮話來掩蓋內容的不足(除非你覺得「讓我們對它Leibniz Rule一下」是漂亮話)。他讓你覺得厲害的不是他的口條,而是他的邏輯,而我很喜歡這樣的感覺。

附註:一方面為了能在一堆數學系的人之中自立自強,一方面我剛好也想編一下微積分的彙整講義,所以每次考前都會和幾個系上一起修課的同學把上課的內容重新統整並補充後用一個比較好檢閱的方式編成共筆。對於上課內容有興趣的可以參考以下連結的附檔,裡面也包含了三次考試的題目解答和課程的每週進度表。

共筆連結:goo.gl/FWjzU2

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